8. – 8. Schuljahr

Jan Vehring

Fahrradtour ins Freizeitbad

Alltagsnahe Bewegungsaufgaben (bzw. Treffpunktaufgaben) lassen sich auch als Modellierungsaufgaben in den Unterricht integrieren. Sind nicht alle Werte exakt vorgegeben, muss man zur Lösung modellieren genauer: Informationen ordnen, Annahmen treffen, gegebenenfalls Informationen beschaffen und (nach der Arbeit im mathematischen Modell) die erhaltenen Ergebnisse interpretieren bzw. auf die Realsituation übertragen. Je nach Vorgaben, kann dabei eine mehr oder weniger offene Modellierungsaufgabe entstehen.
Zur Bearbeitung der hier vorgestellten Treffpunktaufgabe (Arbeitsblatt ) müssen Geschwindigkeiten geschätzt und die ungefähre Länge einer Strecke anhand einer Karte ermittelt werden, um dann die Frage klären zu können, ob eine Gruppe von Radfahrern durch ein später startendes Auto eingeholt werden kann.
Blick auf den Modellierungsprozess
In der Regel werden die Lernenden bei der Bearbeitung nicht im Sinne eines idealtypischen Modellierungskreislaufs vorgehen, sondern verschiedene Ansätze probieren, bei Bedarf weitere Daten beschaffen und immer wieder Ideen verwerfen. In einer rückblickenden Besprechung der Aufgabe betone ich daher, dass Irrwege und Rückschläge zum Modellieren gehören und sich in der Regel nicht vermeiden lassen.
Folgende beispielhafte Aspekte der Aufgabenbearbeitung mögen in den einzelnen Phasen eines idealisierten Modellierungsprozesses eine Rolle spielen:
Annahmen und Schätzungen
  • Wie lang ist die Strecke zwischen dem Wohnort Dalum und dem Freizeitbad? (Schätzen anhand der Karte: ca. 12km)
  • Mit welcher Durchschnittsgeschwindigkeit fahren die auf dem Foto abgebildeten Jugendlichen diese Strecke auf dem Fahrrad? (Schätzen aufgrund eigener Erfahrungen: ca. 15 – 20km/h)
  • Mit welcher Durchschnittsgeschwindigkeit fährt die Mutter mit dem Auto? (Schätzen unter Beachtung der Geschwindigkeitsbegrenzung: ca. 60 – 80km/h)
Mathematisches Modell aufstellen
Variante 1: Zeichnerische Lösung im Zeit-Weg-Diagramm
Die Bewegungen der Radfahrer und der Mutter im Auto werden jeweils als Geraden in einem Zeit-Weg-Diagramm abgetragen (Abb.1 ). Der Modellierung als Geraden liegt dabei die zusätzliche Annahme zugrunde, dass alle Beteiligten sich mit jeweils konstanter Geschwindigkeit fortbewegen. Für das Zeichnen der Geraden können, etwa durch Dreisatzrechnungen, zunächst einzelne Datenpaare ermittelt werden. Nun können die Koordinaten des Schnittpunktes S näherungsweise abgelesen werden: (0,7 | 11,2)
Variante 2: Rechnerische Lösung mit linearen Gleichungen
Schätzt man die Durchschnittsgeschwindigkeit der Radfahrer auf 17km/h und die Durchschnittsgeschwindigkeit der Mutter mit dem Auto auf 70km/h, so ergeben sich für die zurückgelegte Strecke y in km nach x Stunden die folgenden Gleichungen:
Radfahrer: y = 17 · x
Mutter: y = 70 · (x 0,5)
Löst man dieses Gleichungssystem, z.B. mit dem Gleichsetzungsverfahren, und rundet auf eine Nachkommastelle, so erhält man als Lösung ebenfalls das Wertepaar (0,7 | 11,2).
Mathematische Ergebnisse interpretieren
Übertragen auf die Realsituation, kann geschlussfolgert werden, dass die Radfahrer nach ca. 0,7 Stunden bzw. 42 Minuten von der Mutter eingeholt werden. Es wurden dann ca. 11,2km der insgesamt ca. 12 km langen Gesamtstrecke zurückgelegt. Andi bekäme seine Badehose also knapp bevor er im Freizeitbad angekommen ist oder direkt davor, wenn die Mutter die Gruppe überholt und vor dem Bad auf ihren Sohn wartet.
Reflexion und Diskussion
Erfahrungsgemäß machen die Schülerinnen und Schüler bei der Bearbeitung dieser Aufgabe teilweise sehr stark voneinander abweichende Annahmen. Es werden sowohl rechnerische als auch zeichnerische Lösungsansätze verfolgt.
Nachdem verschiedene Vorgehensweisen präsentiert wurden, können beispielsweise die folgenden Fragen gemeinsam diskutiert werden:
  • Worin unterscheiden sich die aufgestellten mathematischen Modelle? Welche Vor- und welche Nachteile haben die einzelnen...

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