7. – 11. Schuljahr

Jochen Barth

Faire Auslosung zur WM 2018?

Bei der Auslosung der Gruppen zur Fußball-WM 2018 in Moskau erwischte Russlands Nationalteam die „günstigste Gruppe, wie die Süddeutsche Zeitung am 2.12.2017 berichtete1. Als Maß dafür galt die durchschnittliche Weltranglisten-Platzierung der in einer Gruppe spielenden Länder: Während die anderen Gruppen Werte zwischen 17,75 und 25,75 haben, liegt die Gruppe mit Russland, Uruguay, Ägypten, Saudi-Arabien bei einem Schnitt von 45 (wobei der Gastgeber Russland befreit von Qualifikationsspielen keine Ranglisten-Punkte sammeln konnte).
Für Russland ist die Gruppenkonstellation wohl noch günstiger als jene, die bei einer Probe-Auslosung (ausgestrahlt vom russische Sender Perwiy Kanal) zustande kam: Russland wurden die Teams aus Uruguay, Ägypten und Japan zugelost. „Vielleicht findet sich ja bald ein Mathematiker, um die Wahrscheinlichkeit auszurechnen, dass drei Teams gleich zweimal hintereinander in dieselbe von acht Vierergruppen gelost werden. Nur mal so zum Spaß. (SZ vom 1.12.2017) Wie wahrscheinlich ist wirklich, was bei der Auslosung und bei der Probe-Auslosung passiert ist?
Blick ins Regelwerk
Bei der Auslosung gilt:
  • Die Mannschaften im ersten Topf sind gesetzt, sie führen jeweils die 8 Gruppen an.
  • Diesen 8 Mannschaften wird aus jedem anderen Topf jeweils 1 Team zugelost.
Zudem hat die FIFA festgelegt:
1. In jeder Gruppe muss mind. ein Team aus Europa sein, mehr als zwei sind aber nicht erlaubt.
2. Direkte Duelle von zwei Teams aus einer der Konföderationen Asien, Afrika, Südamerika, Mittelamerika und Ozeanien (diesmal nicht dabei) sind untersagt.
Bedeutung für die Auslosung
In der Zeitung wurde gefragt, wie groß die Wahrscheinlichkeit für drei Übereinstimmungen ist. Zur Beurteilung, ob die Auslosung fair war, ist aus meiner Sicht eher relevant:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Russland bei der Probe eine Gruppe erwischt, die mindestens zwei weitere Übereinstimmungen mit der gezogenen Gruppe vorweist?
Ohne die beiden FIFA-Regeln lässt sich die Frage gut mit einem Baumdiagramm veranschaulichen und dann mit der Pfadregel berechnen:
$$P(genau~ 3~ Übereinstimmungen\mathrm{)~ =~ }\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}_{\mathrm{ }}^{\mathrm{3}}}\mathrm{~ =~ }\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{512}}\mathrm{~ =~ 0,195~ \% }$$$$P\mathrm{(}genau~ 2~ Übereinstimmungen\mathrm{)~ =~ }\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{8}_{}^{3}}\mathrm{~ }\mathrm{+~ }\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{8}_{}^{3}}\mathrm{~ +~ }\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{8}_{}^{3}}\mathrm{~ =~ }\frac{\mathrm{21}}{\mathrm{512}}\mathrm{\ }\approx \mathrm{~ 4,1~ \% }$$
P(mind. 2 weitere Übereinst.)  0,195 % + 4,1 % = 4,295 %
Die Beachtung der FIFA-Regeln wird diese Wahrscheinlichkeiten erhöhen und macht das Baumdiagramm nun etwas komplizierter. Zu Russland darf nur noch eine europäische Mannschaft dazukommen: Wird aus Topf 2 eine europäische Mannschaft gezogen, so können aus Topf 3 nur noch 5 Teams und aus Topf 4 noch 7 Teams zugelost werden. Wird erst aus Topf 3 eine europäische Mannschaft gezogen, so können aus Topf 4 nur noch 7 Teams zugelost werden.
Wird aus Topf 2 Mexiko zugelost, dann sind aus Topf 3 Costa Rica und aus Topf 4 Panama zu entfernen.
Wird aus Topf 3 eine mittelamerikanische Mannschaft (Costa-Rica) gezogen, entfällt Panama aus Topf 4.
Wird aus Topf 3 lran gezogen, entfallen aus Topf 4 Saudi-Arabien, Südkorea, Japan und Australien. Damit kann es keine weitere Übereinstimmung mehr geben. Deshalb gehört dieser Fall nicht zur gesuchten Wahrscheinlichkeit.
Wird aus Topf 3 eine afrikanische Mannschaft zugelost, dann fallen aus Topf 4 (Nigeria und Marokko) weg.
Für die Wahrscheinlichkeiten gilt:
P(genau 3 Übereinstimmungen)
$$\mathrm{=~ }\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\mathrm{~ \cdot ~ }\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\mathrm{~ \cdot ~ }\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\mathrm{~ =~ }\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{384}}\mathrm{~ =~ 0,195~ \% }$$
P(genau 2 Übereinstimmungen)
$$\mathrm{=~ ...

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