10. – 10. Schuljahr

Anselm Lambert

Rund(en) um das höchste Bauwerk der Erde

Ein Haus, hoch wie ein Berg. Das ist eine faszinierende Vorstellung und das gibt es sogar wirklich. Damit haben wir eine fruchtbare Situation für Fragen vorliegen.
Hoch und weit mehr oder weniger genau
Der Burj Khalifa in Dubai ist derzeit mit seiner Höhe h = 828 m das höchste Bauwerk der Welt. Die höchste bewohnte Etage ist laut Wikipedia die 163. und diese liegt auf b = 584,5m. Das ist sehr, sehr hoch und man kann bei guter Sicht entsprechend sehr, sehr weit sehen.
Wie weit kann man aus dieser Höhe seinen Blick schweifen lassen?
Dies lässt sich wie bei der klassischen Leuchtturmaufgabe leicht über den Satz des Pythagoras bestimmen. Nebenbei: Hans Walser hat wiederholt angemerkt, dass es Leuchttürme nur noch in der Schule und im Tourismus gibt; für die Seefahrt sind sie schon seit mehreren Technologie-Generationen veraltet.
Wir verwenden das folgende Modell: Der Erdradius verlängert um die Gebäudehöhe bildet die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, der tangentiale Blick an den Horizont bildet eine Kathete und der Radius am Berührpunkt die andere (Abb.1 ). Wir sollten also wohl zunächst die folgende Frage beantworten:
Wie groß ist in Dubai der Erd-„Radius unter der Annahme, dass die Erde ein Rotationsellipsoid ist?
Im aktuellen offiziellen geodätischen Referenzsystem von 1980 (GRS80) wird die Länge des äquatorialen Radius mit ä = 6378,137 km angesetzt. Daraus und aus weiteren definierenden Parametern folgt als Länge der polaren Halbachse p = 6356,752 km. Damit haben wir die Ellipsengleichung
$$\left (\frac{x}{\mathrm{ä}}\right )_{\mathrm{\ }}^{\mathrm{2}}\mathrm{~ }\mathrm{+~ }\left (\frac{y}{\mathrm{p}}\right )_{\mathrm{\ }}^{\mathrm{2}}\mathrm{~ = ~ 1}$$
Da Dubai bei N 25,2° liegt, schneiden wir diese Ellipse nun im ersten Quadranten mit der Geraden
$$y\mathrm{~ =~ tan(25,2^\circ )~ \cdot ~ }x$$
und erhalten den Schnittpunkt
$$\mathrm{(}x~ |~ y\mathrm{)~ =~ (5767,589~ }|\mathrm{~ 2714,021)}$$
und aus dessen Koordinaten über den Satz des Pythagoras den gesuchten Radius r in Dubai:
$$r~ \mathrm{=~ }\sqrt{\left (x_{\mathrm{\ }}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}y_{\mathrm{\ }}^{\mathrm{2}}\right )\mathrm{\ }}\mathrm{~ = ~ 6374,244 ~ km}$$
Für den Abstand d von der Turmspitze zum Horizont folgt damit in unserem Modell d = 86,324 km.
Ist der Aufwand möglichst genauer Erdradiusbestimmung hier überhaupt sinnvoll?
Wir können auch etwas einfacher herangehen. Die Länge des Erdradius haben die Lernenden in der Regel nicht parat, aber die des Erdumfangs mit 40000km, und sie erinnern sich nach und nach, dass die Erde eine Kugel ist. Ich lasse im Unterricht immer Zeit, die zielführende Skizze selbst zu finden, denn das ist die eigentliche Pointe der Aufgabe und freue mich dann immer, neben Skizzen ebener Erden nach und nach runde Erden zu sehen. Damit ist das Ellipsoid für mich zweitrangig. Der Fehler ist erfreulich überschaubar.
Wie groß ist die Abweichung des Ergebnisses?
Wir setzen nun also den Radius alternativ an mit
$$r~ \mathrm{=~ }\frac{\mathrm{40 000 km}}{\mathrm{(2 \pi )}}\mathrm{~ = ~ 6366,198 ~ km}$$
und erhalten damit d = 86,269km,
also ergibt sich ein Unterschied von gerade mal 55m. Dieser liegt übrigens in der gleichen Größenordnung, wie der durch eine zusätzliche Berücksichtigung einer Augenhöhe wir wissen ja leider nicht, was b genau bedeutet und haben es in unseren Rechnungen als Blickhöhe angesetzt.
Die beiden unterschiedlichen Rechnungen sind sinnvoll genutzte Zeit, denn zum einem haben wir den Satz des Pythagoras in einem Kontext mehrfach geübt, und zum anderen erlaubt ein Vergleich der Modelle eine Diskussion sinnvoller Rechengenauigkeit, um etwas anders mit einem Taschenrechner-Ergebnis umzugehen: Hier sollten im Ergebnis allerhöchstens drei gültige Stellen angegeben werden, also d=86,3 km.
Das ist beruhigend, da wir oben zwar über die Ellipse den lokalen Radius bestimmt haben, aber den Pythagoras...

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