8. – 13. Schuljahr

Wolfgang Riemer

Wie teuer wäre „die Maß Cola?

Modellieren an der Theke

„Groß oder klein? so lautet die Rückfrage nach der Bestellung eines Getränks. Natürlich ist das große teurer aber auch preiswerter. Und wenn man dann um je nach Durst die Kosten-Nutzen-Relation zu verbessern fragt, wie teuer ein „ganz großes wäre, erhält man Antworten wie „gibts hier nicht oder „muss ich den Chef fragen. Lassen Sie Ihre Schülerinnen und Schüler über die Preisgestaltung spekulieren. Fördern Sie Modellierungskompetenz, funktionales Denken und „Lust auf Mathe.
Grunderfahrungen nach Heinrich Winter
Das Mathebuch ist der einzige Ort, an dem es normal ist, 53 Melonen zu kaufen und 23 davon sofort zu essen.
Facebook-Posts wie dieser mit 50000 Likes bringen es auf den Punkt: Mathematik wird als weltfremd erlebt, weil sie wenig mit erlebter Wirklichkeit zu tun hat. Dennoch hat die Frage nach dem Preis von 53 Melonen auch ihre Berechtigung. Denn Mathematik ist auch geistige Schöpfung einer deduktiv geordneten Welt eigener Art, in der es durchaus sinnvoll ist, über 53 Melonen nachzudenken.
In diesem Spannungsfeld zwischen erster und zweiter winterscher Grunderfahrung, zwischen authentischer Realität und innermathematischer Struktur „lebt die hier gestellte Frage nach einem Modell für die Preisgestaltung beim Verkauf „größerer Getränkemengen. Diese Frage sorgt ab Klasse 8 für engagierte mathematikhaltige Diskussionen. Sie fordert zum Modellieren ebenso heraus wie zum Üben des Umgangs mit Funktionenklassen, deren Anzahl im Laufe der Schulzeit mit den Kindern mitwächst.
Der Kontext macht den Unterschied
Die Aufforderung „Bestimme den Term einer Funktion, deren Graph durch die Punkte P(0,2 | 1,6) und Q(0,4 | 3) verläuft! ist eine Routineaufgabe, deren Lösung normalerweise von der Funktionsklasse abhängt, die im Unterricht gerade „dran ist.
Das Problem an der Theke
Zu einem motivierenden Problem wird diese Frage an der Theke, wo 0,2l eines Getränks 1,60€ und 0,4l nur 3,00€ kosten. Wie viel müssten dann 0,6l kosten? Wie viel kostet „die Maß (1l), wie viel x Liter?
Das Motivierende an diesem Problem ist die Kombination aus präziser Fragestellung, Vielfalt möglicher Lösungen („Modelle) und dem sich aus dem Vergleich ergebenden Diskussionsbedarf. Es gibt von Klasse 8 bis zum Abitur keine Lerngruppe, die sich (des anfänglichen Facebook-Posts zum Trotz) dem Reiz dieser Frage entzogen hätte. Das liegt nach Piagets „Äquilibrationstheorie wohl daran, dass unser Gehirn ständig nach Strukturen sucht, die die Welt „erklären und gefundene Strukturen machen „glücklich.
Seien Sie gespannt, auf welche Ideen die Lernenden kommen, wenn sie ein wenig Zeit zum Nachdenken bekommen und wenn Sie betonen, dass es keine falschen Modelle geben kann. Die folgenden Beispiele stammen aus einer Klasse 8 und einem Leistungskurs der Stufe 12. In Letzterem wurde nach Abschluss der Untersuchungen die Bedienung hinter der Theke in interessante Diskussionen verwickelt.
1. „Et is wie et is (ab Klasse 7/8)
Wenn man die Realität akzeptiert, wie sie ist, „gibt es nur 0,2l oder 0,4l. Dann kosten 0,6l 1,60 +3,00 =4,60 €, „die Maß mit 1l günstigstenfalls 4,60 +3,00 =7,60 € und 100l kosten:
$$\left (\frac{\mathrm{100}}{\mathrm{0,4}}\right )\mathrm{ ~ \cdot ~ 3~ €~ =~ 250~ \cdot ~ 3~ €~ =~ 750~ € ​}$$
Die (für Achtklässler anspruchsvolle) Suche nach funktionalen Beschreibungen führt auf zwei lineare Terme
$$f\mathrm{(}x\mathrm{)~ =~ }\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{0,4}}\mathrm{\cdot ~ }x\mathrm{~ =~ 7,5~ }x$$
für x = 0,4; 0,8; und
$$g\mathrm{(}x\mathrm{)~ =~ }\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{0,4}}\mathrm{~ \cdot ~ (}x~ \mathrm{–~ 0,2)~ +~ 1,6}$$
= 7,5 x + 1 für x = 0,6; 1,2; ...
Deren Graphen verlaufen parallel zueinander. Die Steigung 7,5 wird als Literpreis interpretiert, der sich aus 3 € für 0,4 l ergibt (Abb. 1 ).
Löst man sich nun von der konkreten Situation mit den beiden Preisen für 0,2 l und 0,4 l, so kann...

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