5. – 10. Schuljahr

Hans-Georg Weigand

Chancen und Einschränkungen

Wo negative Zahlen in der Schulmathematik vorkommen

Ob die negativen Zahlen „einfach da sind, genau wie die natürlichen Zahlen „da sind als Objekte in unserer Umwelt, bei Temperaturen, Höhen- und Tiefenmetern oder bei Schuldenständen, darüber lässt sich trefflich streiten. Bejaht man deren Existenz, dann erscheint der Übergang von den natürlichen zu den ganzen Zahlen etwa auf dem Zahlenstrahl naheliegend und ohne größere Interpretationsprobleme vor sich zu gehen. Das ist auch aus Sicht der Schülerinnen und Schüler so, die diese Erweiterung in der 7. oder häufig bereits in der 5. Klasse erfahren.
Lernende, die am Anfang der Reise in die Mathematik entlang unterschiedlich verästelter Gebiete stehen, vermögen noch nicht zu erkennen, dass mit dieser Zahlenbereichserweiterung im weiteren Aufbau der Mathematik neue Möglichkeiten aber auch Einschränkungen verbunden sind.
Die folgenden Beispiele geben das Wechselspiel zwischen den beiden Strategien Erweitern und Einschränken wieder. Sie zeigen insbesondere, wie Einschränkungen sowohl durch mathematische Gesetzmäßigkeiten erzwungen als auch durch pragmatische Entscheidungen motiviert sein können.
Einführung negativer Zahlen
Durch entsprechende Umweltbezüge lässt sich ein intuitives Verständnis der Erweiterung der natürlichen zu den ganzen Zahlen gut entwickeln. Allerdings müssen mit dieser Erweiterung neue Überlegungen hinsichtlich der vier Grundrechenarten einhergehen. Addition und Subtraktion lassen sich noch gut durch Pfeiladditionen und Pfeilsubtraktionen darstellen (Abb. 1 ). Durch die Darstellung negativer Zahlen als „Pfeile oder Vektoren ergeben sich allerdings durch die zu verwendenden Klammern durchaus Darstellungsschwierigkeiten auf der symbolischen Ebene.
Bei den Rechenoperationen Multiplikation und Division muss dann allerdings eine Neuinterpretation erfolgen. Während sich die Multiplikation eines negativen mit einem positiven Faktor noch zumindest im Bereich der ganzen bzw. natürlichen Zahlen gut über die Pfeiladdition erklären lässt, versagt diese Methode bei der Multiplikation zweier negativer Zahlen. Es gibt zwar verschiedene Vorschläge zur Veranschaulichung und Begründung durch reale Handlungen oder Umweltbezüge, letztlich bedarf es hier aber einer innermathematischen Begründung entlang der Eigenschaften der Multiplikation.
Das Koordinatensystem
Die Erweiterung des Zahlbereichs auf die negativen Zahlen führt fast zwangsläufig auch zur Erweiterung des Koordinatensystems und damit auf die Möglichkeit, sowohl Definitions- als auch Wertebereich bei funktionalen Darstellungen bzgl. der negativen Zahlen zu erweitern. Während sich das Rechnen im Rahmen von Umweltsituationen fast ausschließlich auf nicht-negative Zahlen beschränkt, treten im Zusammenhang mit Zuordnungen eines Variablenwerts zu einem Term auch negative Zahlen mit entsprechenden graphischen Darstellungen in den vier Quadranten auf. Abb. 2 zeigt ein Beispiel aus der 7. Klasse.
Das uns heute so vertraute Koordinatensystem ist wie die negativen Zahlen eine Erfindung der Neuzeit. So geht die analytische Beschreibung geometrischer Objekte zwar auf Des-cartes zurück, das „kartesische Koordinatensystem beschränkte sich bei ihm aber noch auf Achsen mit positiven Werten (Längen). Negative Koordinaten treten erstmals bei Wallis und Newton (um 1655) auf (vgl. Scriba/Schreiber 2000, S. 307f).
Negative Hochzahlen
Negative Hochzahlen werden im Allgemeinen mit Hilfe des Permanenzprinzips eingeführt. Abb. 3 stellt dann das Ergebnis für eine 8. Klasse dar.
Man könnte auf negative Hochzahlen beim Rechnen mit Potenzen auch verzichten. Multiplikationen und Divisionen der Art
$$\left (1\right )a^{n}\cdot \frac{1}{a^{m}}\mathrm{~ oder~ }\frac{a^{n}}{a^{m}}$$mit a > 0 und n, m ∈ ℕ,
benötigen keine Erweiterung der Exponenten auf ganze Zahlen.
Allerdings kommt jetzt eine typisch mathematische Arbeits- und Denkweise zum...

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