6. – 7. Schuljahr

Sebastian Rezat

Das Permanenzprinzip erfahren

An der 1+1-Tafel und der 1×1-Tafel das Rechnen mit negativen Zahlen operativ erkunden

Das Rechnen mit negativen Zahlen ist schwierig, da die Rechenregeln nicht unmittelbar auf reale Zusammenhänge anwendbar sind und daher auch meist nur künstlich anhand von Alltagssituationen veranschaulicht werden können. Letztlich erfordert das Rechnen mit negativen Zahlen ebenso formale Regeln wie das algebraische Kalkül. Am deutlichsten wird dies bei der Rechenregel „minus mal minus ergibt plus, für die es keine anschauliche Erklärung gibt.
Da ein inhaltliches Verständnis der Rechenregeln für negative Zahlen nur bedingt erreichbar ist, stelle ich hier einen Weg vor, bei dem die elementaren Aufgaben der Addition und Multiplikation im Bereich der ganzen Zahlen mittels Permanenzüberlegungen aus den entsprechenden Aufgaben mit natürlichen Zahlen entwickelt werden. Dabei werden zunächst Muster in diesen Aufgaben erforscht und dann systematisch weiterentwickelt. Dieser Zugang ermöglich einerseits, die Rechenregeln für negative Zahlen auf mathematisch ehrliche Weise einzuführen. Andererseits leistet er einen Beitrag zur Förderung algebraischen Denkens (Berlin u.a. 2009) im Kontext der Arithmetik, da nicht das Rechnen selbst, sondern das Nutzen struktureller Beziehungen zwischen den Aufgaben im Vordergrund steht.
Die 1+1- und 1×1-Tafel
In der Grundschule werden die 1+1- und die 1×1-Tafel zum Erkunden (und Erlernen) der Aufgaben des kleinen Einspluseins und Einmaleins im Zahlenraum der natürlichen Zahlen bis 100 verwendet (Abb. 1 ). Mit Hilfe der Tafeln sollen jeweils die operativen Zusammenhänge der 121 Aufgaben des 1+1 und des 1×1 in den Vordergrund rücken. Das heißt, es wird deutlich, wie benachbarte Aufgaben oder bestimmte Aufgabenserien und deren Ergebnisse unter transformierenden Operationen, z.B. Ändern eines Summanden um 1, in Beziehung stehen. Da die Änderungen in den Ergebnissen von den Änderungen der Aufgaben abhängig sind, sind in der Tafel auch die Aufgaben und nicht die Ergebnisse dargestellt (Wittmann/Müller 1997). Aufgabenserien, die für das Erlernen des 1+1 bzw. des 1×1 besonders wichtig sind, sind in der Tafel hervorgehoben. Dazu gehören:
  • die Verdopplungsaufgaben bzw. die Quadratzahlen
  • die Additions- bzw. die Multiplikationsaufgaben mit 5
  • die Aufgaben zur Fünfer-, Zehner- und Fünfzehnerergänzung in der 1+1-Tafel
  • Multiplikationsaufgaben mit 2 in der 1×1-Tafel.
Diese Kernaufgaben werden beim Erlernen des 1+1 bzw. des 1×1 als besonders wichtig angesehen, da sie Stützpunkte in unserem dezimalen Stellenwertsystem markieren und daher ein geeignetes Gerüst darstellen, um die anderen Aufgaben aus diesen Kernaufgaben abzuleiten. Aus diesem Grund sollten die Kernaufgaben auch als erste auswendig beherrscht werden.
Auch Rechengesetze lassen sich in der Tafel wiederfinden. Das Kommutativgesetz zeigt sich bei denjenigen Aufgaben, die symmetrisch zur mittleren horizontalen Reihe mit den Verdopplungsaufgaben bzw. Quadratzahlen liegen. Das Gesetz von der Konstanz der Summe wird in der 1+1-Tafel daran deutlich, dass alle Aufgaben in einer Spalte das gleiche Ergebnis haben.
Grundsätzlich ergeben alle Aufgaben einer Zeile, Spalte oder Diagonalen ein strukturiertes Aufgabenpäckchen, d.h. eine Aufgabenserie, die durch eine gemeinsame Struktur verbunden ist.
Schülerinnen und Schüler der Sekundarstufe haben diese Erfahrungen im 1+1 und 1×1 in der Regel bereits verinnerlicht. Im ungewohnten Zahlbereich der negativen Zahlen ist es jedoch sinnvoll, auf diese gefestigten Erfahrungen im 1+1 und 1×1 aufzubauen, um so den Weg vom Vertrauten ins Neue zu ebnen und strukturelle Beziehungen im alten Zahlbereich im Sinne des Permanenzprinzips auf den neuen Zahlbereich auszudehnen. Dabei spielen die strukturellen Zusammenhänge eine besondere Rolle, da auf diese Weise die algebraischen Aspekte des Rechnens mit negativen Zahlen in den Vordergrund rücken, ohne abstrakt und...

Weiterlesen im Heft

Vorteile im Abo

Exklusiver Online-Zugriff auf die digitalen Ausgaben der abonnierten Zeitschrift
Print-Ausgabe der abonnierten Zeitschrift bequem nach Hause
Zusatzvorteile für Abonnenten im Online-Shop genießen