7. – 10. Schuljahr

Viktor Fast, Rudolf vom HofeGeometrisch wirds anschaulich

Das Pfeilmodell als Vorstellungsbasis für negative Zahlen

Das Pfeilmodell bildet eine anschauliche Vorstellungsgrundlage für die Ausbildung sekundärer Grundvorstellungen zu negativen Zahlen (Hattermann/vom Hofe 2014). Auch die für Schülerinnen und Schüler schwieriger zu begreifende Multiplikation negativer Zahlen kann damit schlüssig und anschaulich erklärt werden. Als Grundlage dient die Idee, die Multiplikation mit der Streckung und Spiegelung zu assoziieren. Die auf diese Weise vermittelten Grundvorstellungen sind auch für weitere mathematische Inhalte tragfähig.
Die Erweiterung von den natürlichen zu den ganzen bzw. rationalen Zahlen birgt für Schülerinnen und Schüler in der Regel zunächst keine größeren Probleme. Vieles kann aus bekannten Umweltzusammenhängen hergeleitet werden. Ebenso ist die Addition mit ganzen Zahlen über verschiedene Modelle (Schulden, Temperatur, Fahrstuhl) leicht zugänglich (Malle 2007, S. 52ff.).
Schwieriger wird es, wenn systematisch mit Vorzeichen gerechnet werden soll. Während die Addition noch als Hinzufügen von Gut- oder Schuldscheinen interpretiert werden kann, ist die Gedankenverknüpfung der Subtraktion mit dem Abgeben von Schulden bereits schwieriger: „Wie kann ich denn Schulden abgeben, wenn ich gar keine Schulden habe? Dennoch ist diese Interpretation mit entsprechenden Erklärungen mit gewissem Aufwand noch nachvollziehbar. Vorstellungen, jemandem minus einmal soviel Geld zu geben, wie er besitzt, oder dass die morgige Temperatur das Minus-Eins-Fache der heutigen betragen wird, sind dagegen eher bizarr (Ulovec 2007, S. 16). Es stellt sich also die Frage, was die Multiplikation im Bereich der ganzen Zahlen bedeutet und wie diese Operation sachgerecht, überzeugend und auf die Erfahrungswelt der Schülerinnen und Schüler bezogen dargestellt werden kann.
Grundlegende Idee: deute Vervielfachen als Strecken
Als Basis für die Ausbildung von Grundvorstellungen zu negativen Zahlen schlagen wir das Pfeilmodell vor.1 Hierbei wird die Multiplikation als Streckung gedeutet: Das Ziehen an einem elastischen Gegenstand z.B. Zieharmonika-Papierstreifen oder Gummiband kann dann als Multiplikation interpretiert werden. Eine Strecke kann zwei oder n mal so lang sein wie eine andere und eine Strecke kann auf ihre n-fache Länge gestreckt werden.
Die Idee des Streckens bzw. Stauchens (z.B. auf ein Drittel) greift damit die bei Schülerinnen und Schülern vorherrschende additive Interpretation der Multiplikation auf. Sie geht jedoch darüber hinaus, da auch nicht ganzzahlige Streckfaktoren vorkommen können. Hierdurch wird der Weg zum Rechnen mit rationalen Zahlen eröffnet.
Rationale Zahlen im Pfeilmodell
Spielgeln: Vom Zahlenstrahl zur Zahlengeraden
Die Erweiterung des Zahlenstrahls von ℕ nach ℤ kann leicht als Spiegelung des Zahlenstrahls am Nullpunkt vermittelt werden. Jede Zahl in ℕ wird im gleichen Abstand zu 0 auf die vom Nullpunkt andere Seite in den neuen, negativen Bereich abgebildet. Wir erhalten eine Linie, die von – ∞ bis +∞ geht. Die so entstehende Zahlengerade untermauert auch visuell die Ordnung der Zahlen in diesem Zahlbereich (…–3 < 2 < 1 < 0 < 1 < 2 < 3 ). Wie funktionieren nun die Rechenregeln für die neuen Zahlen auf diesem erweiterten Zahlenstrahl?
Addition
Die Addition von zwei natürlichen Zahlen a und b kann an der Zahlengeraden mit dem Pfeilmodell visualisiert werden, indem zunächst die beiden Zahlen als Pfeile mit den Längen a und b dargestellt werden. Die Rechnung a+b entspricht dann visuell dem Aneinanderhängen der beiden Pfeile: Der Anfang des Pfeils b wird an das Ende des Pfeils a gehängt. Schnell wird ersichtlich, dass die Addition kommutativ ist, denn die Reihenfolge der Anordnung ändert nicht das Ergebnis.
Das funktioniert auch, wenn eine oder beide Zahlen kleiner als 0 sind. Abb. 1 zeigt eine Cinderella-Applikation dieser Zusammenhänge. Durch die Möglichkeit, die...

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