7. – 8. Schuljahr

Daniela Hesse

Mehr als nur rechnen

Von magischen Quadraten zur Algebra

Magische Quadrate gibt es vermutlich in jedem Mathebuch, wenn die Addition oder Multiplikation von Zahlen (egal, ob Bruchzahlen, Dezimalzahlen oder rationale Zahlen) geübt werden soll. Das Prinzip ist einfach, die Vorgaben sind leicht zu verstehen, und das Ergebnis ist in der Regel eindeutig. Wie viel Mathematik es hier zu entdecken gibt, war mir deshalb zunächst gar nicht klar.
Gemeinsam mit meinen Schülerinnen und Schülern habe ich die magischen Quadrate als Ausgangspunkt für einen Erkundungsprozess genommen, der uns bis zur Algebra geführt hat. Wir haben geknobelt und probiert und dabei mathematische Strukturen untersucht, Zusammenhänge erkannt und Erstaunliches entdeckt. Vielleicht haben Sie Lust, uns dabei zu begleiten und Ihre ganz eigenen Entdeckungen zu machen. Deshalb beschreibe ich hier nur den Prozess und die Aufgaben (vgl. auch Arbeitsblatt. ). Tipps und Lösungen finden Sie im Online-Material.
Alles begann mit einer Frage
„Haben Sie nicht eine andere Aufgabe für mich? Aber eine, die richtig schwer ist! Erwartungsvoll steht Jaqueline, 7. Klasse, vor mir. Sie liebt die Herausforderung und die Mathematik. Standardaufgaben sind ihr schnell zu langweilig, dann lässt ihre Konzentration nach und sie lenkt sich und andere ab. Wir haben vereinbart, dass sie dann lieber zu mir kommt und eine individuelle Aufgabe bekommt. Im Rahmen der Unterrichtseinheit „Rationale Zahlen wurde daraus eine Folge von Aufgaben für die ganze Klasse und eine gemeinsame Forscherreise in die Welt der magischen Quadrate.
Aufgabe 1a: Erfinde ein magisches 3×3-Quadrat mit negativen und positiven Zahlen, wobei jede Zahl aber nur einmal vorkommen darf.
Diese Aufgabe ist sehr offen formuliert. Die Lösung muss neben den Bedingungen der magischen Quadrate nur eine weitere erfüllen: Es müssen wirklich positive und negative Zahlen vorkommen. Insgesamt ist die Aufgabe anspruchsvoll, sie kann zwar durch systematisches Probieren gelöst werden, es gibt aber auch viele Irrwege. Die Lösung ist keineswegs trivial, und die dahinter verborgene Struktur führt am Ende bis in die Algebra zu Termen und Termumformungen.
„Ich bekomme das nicht raus. Ich habe ganz viel ausprobiert. Aber am Ende stimmt immer etwas nicht. Können Sie mir nicht einen Tipp geben? Jaqueline ist ehrlich verzweifelt und zeigt mir ihre vielen vergeblichen Versuche.
Bekannte Lösungsstrategien stehen den Schülerinnen und Schülern in der Regel nicht zur Verfügung. Neben Kreativität brauchen sie hier Durchhaltevermögen und die Fähigkeit, Zusammenhänge zu sehen und zu nutzen. Und weil Erfolgserlebnisse so wichtig sind, formuliere ich parallel eine Aufgabe, die deutlich einfacher ist und von allen Schülern gelöst werden kann.
Aufgabe 1b: Bilde mit den Zahlen
9, 5, 4, 1, 0, 1, 4, 5, 9
ein magisches Quadrat.
Die magische Zahl ist Null.
Alternativ kann man bei dieser Aufgabe auch nur einen Teil der Zahlen vorgeben und/oder die magische Zahl weglassen. Gib man nur die Zahlen 5, – 4, 0, 4, 5 und die magische Zahl 0 vor, steigt die Variationsbreite der Lösungen und die Aufgabe wird einfacher. Der Schwierigkeitsgrad lässt sich durch den Umfang an Informationen flexibel an die eigene Lerngruppe und an das Leistungsvermögen einzelner Lernenden anpassen.
Am Ende der großen Pause präsentiert Jaqueline mir die Lösung. „Prima, freue ich mich mit ihr. „Kannst du nun auf dieser Grundlage ein eigenes Quadrat finden? (s. Arbeitsblatt, Aufgabe 2). Dafür gibt es Veränderungsprinzipien, die Schülerinnen und Schüler durchaus selbst entdecken können:
1. In allen Feldern wird dieselbe Zahl addiert.
2. Die Felder werden nach folgendem Muster verändert. Dieses kann auch gedreht und gespiegelt werden.
Entscheidend ist, die Abhängigkeit der Felder untereinander zu erkennen und zu verstehen, wie die Veränderung in einem Feld weitere Veränderungen zur Folge hat und bestimmte Ansätze als nicht möglich...

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