5. – 13. Schuljahr

Rudolf vom Hofe, Mathias Hattermann

Zugänge zu negativen Zahlen

Der Umgang mit negativen Zahlen ist dort einfach, wo es um das Ablesen von Temperaturen oder Kontoständen geht aber schwierig, wenn es sich um das Rechnen und das algebraische Arbeiten handelt. Wie gehen wir im Unterricht damit um? Welche Grundvorstellungen müssen neu erworben werden? Welche Kontexte und Modelle bieten sich dafür an?

Der Umgang mit negativen Zahlen ist unbestrittener Inhalt des Curriculums allgemeinbildender Schulen. Warum eigentlich? In Bayern suchte man die negativen Zahlen bis in die 1980er-Jahre vergebens im Curriculum der Hauptschule und trotzdem konnten die bayrischen Schülerinnen und Schüler sowohl Temperaturen ablesen als auch einen rot oder mit einem ‚S markierten Kontostand richtig interpretieren. Für das „bürgerliche Rechnen, die Basis von Einstellungstests für viele Ausbildungsberufe, spielen negative Zahlen bis heute keine Rolle. Allerdings: Viele Inhalte des Mathematikunterrichts jenseits des „bürgerlichen Rechnens benötigen die negativen Zahlen nicht nur in der Algebra (etwa bei Termumformungen oder beim Lösen quadratischer Gleichungen), sondern auch in der analytischen Geometrie und der Analysis. Und für viele Schülerinnen und Schüler gehört auch der Umgang mit negativen Exponenten, Winkelgrößen oder Koordinaten zu den erforderlichen Basiskompetenzen. Daher steht ein Verzicht auf die negativen Zahlen für den weiterführenden Unterricht nicht zur Debatte.
Aus historischer Sicht waren negative Zahlen keineswegs unumstritten. Die Größenvorstellung dominierte lange den Umgang mit Zahlen, doch die Interpretation von beispielsweise „minus 3 Äpfeln entbehrt jeglicher Anschauung. Auch das Darstellungsmittel der Zahlengeraden stand lange Zeit nicht zur Verfügung, obwohl die Rechenregeln zum Umgang mit negativen Zahlen bereits von Diophant um 250 n. Chr. verwendet wurden.
Erst 1867 beendete Hermann Hankel die Diskussion über negative Zahlen, indem er auf rein mathematischer Ebene argumentierte und das Permanenzprinzip heranzog, um die Ordnung und die bekannten Rechenregeln im neuen Zahlbereich zu erhalten und zu legitimieren (Hankel 1867).
Grundvorstellungen zu negativen Zahlen
Ein verständiges Umgehen mit mathematischen Begriffen und Verfahren erfordert von Schülerinnen und Schülern die Ausbildung adäquater Grundvorstellungen (vgl. vom Hofe 2003).
Grundvorstellungen repräsentieren abstrakte Begriffe auf einer anschaulichen Ebene und ermöglichen so eine Verbindung zwischen reinem Zahlenrechnen und außer- und innermathematischen Anwendungszusammenhängen.
Die Tragweite von Grundvorstellungen ist jedoch nicht unbegrenzt. Werden neue Felder der Mathematik wie nun die negativen Zahlen betreten, können vertraute und bislang erfolgreiche Vorstellungen an ihre Grenzen stoßen. Die entsprechenden mathematischen Inhalte bedürfen dann einer neuen Interpretation und Sinngebung. Wird eine geeignete Erweiterung des Grundvorstellungsgefüges, die alte Vorstellungen bewusst reflektiert, nicht erreicht, so können frühere intuitive Annahmen jetzt zu Fehlvorstellungen führen und das Verständnis der neuen Inhalte beeinträchtigen. So führt beispielsweise die Vorstellung, dass die Differenz zweier Zahlen immer kleiner als der Minuend ist, bei negativen Zahlen zu Problemen, etwa bei 5 (3) = 8.
Primäre und sekundäre Grundvorstellungen
Heftige Umbrüche im Grundvorstellungsgefüge treten erstmals im Bereich der Zahlbereichserweiterungen auf (eine Übersicht findet sich bei Ulovec 2007). Im Laufe der Schulzeit werden primäre Grundvorstellungen, die auf gegenständlichen Handlungserfahrungen beruhen und ihre Wurzeln in der Vorschulzeit haben, immer mehr durch sekundäre Grundvorstellungen ergänzt, die zunehmend mit Hilfe von mathematischen Darstellungsmitteln wie z.B. der Zahlengeraden, dem Koordinatensystem, geometrischen Figuren oder algebraischen Termen repräsentiert werden und aus der Zeit mathematischer...

Weiterlesen im Heft

Vorteile im Abo

Exklusiver Online-Zugriff auf die digitalen Ausgaben der abonnierten Zeitschrift
Print-Ausgabe der abonnierten Zeitschrift bequem nach Hause
Zusatzvorteile für Abonnenten im Online-Shop genießen